什么是正交矩阵

什么是正交矩阵

如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。

正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

扩展资料

正交矩阵的性质

1、正交矩阵一定是对实矩阵而言的。

2、正交矩阵不一定对称。

3、正交矩阵的特征值为正负1或者cos(t)+isin(t),换句话说特征值的模长为1。

4、正交矩阵的行列式肯定是正负1,正1是叫第一类,负1时叫第二类。

5、对称的正交矩阵不一定是对角的,只是满足A'=A=A^{-1},例如副对角线全为1,其余元素都为零的那个方阵就是这种类型。

6、正交矩阵乘正交矩阵还是正交矩阵,但是正交矩阵相加相减不一定还是正交矩阵。

7、正交矩阵的每一个行(列)向量都是模为1的,并且任意两个行(列)向量是正交的,即所有的行(列)向量组成R^n的一组标准正交基。

8、正交矩阵每个元素绝对值都小于等于1,如果有一个元素为1,那么这个元素所在的行列的其余元素一定都为零。

9、一个对称矩阵,如果它的特征值都为1或者-1,那么这个矩阵一定是对称的正交矩阵。

10、如果b是一个n维单位实列向量,则E_n-2bb'是一个对称正交矩阵.因为E_n-2bb'的特征值为1(n-1重),-1(1重),同时还是一个对阵矩阵。

参考资料来源：百度百科-正交矩阵