如何定义拉普拉斯变换

如何定义拉普拉斯变换

拉普拉斯变换和傅里叶变换是大学理科相关专业数学物理方法里面的两个基本变换，是常用积分变换。其中，拉普拉斯变换在数学、物理以及工程上有着广泛的应用，那么，接下来介绍拉普拉斯的定义。

设有一个实变量，其对应一个函数，这个函数可以是复函数也可以是实函数，这在数学处理上是一样的。将这个函数与一个拥有负常数的自然对数的指数函数相乘，然后作零到正无穷的积分，若这个积分收敛，则这个积分所得的结果将变为另外一个变量的函数，我们把这样的一种关系称为拉普拉斯变换。数学表达如图所示。

值得注意的是，变换后的函数是一个复变量的函数，我们用图中（1）的形式表示。变换后的函数称为拉普拉斯换式，也是拉普拉斯变换的像函数，积分里面的函数称为原函数，整个积分称为拉普拉斯积分，自然对数的指数函数称为拉普拉斯的核，由图中（2）作详细说明。

为了书写方便，人们约定了一种简写拉普拉斯变换的符号。用拉普拉斯的英文开头第一个字母的花体字符表示拉普拉斯变换，用花体字符的-1次方表示拉普拉斯变换的逆变换，表达方式如图所示所示。

更常见的，还有另外一种简写方式。这种拉普拉斯简写符号的规则为一个等号上下方各加上一个圆点，对应原函数那边，圆点在等式的上方，对应像函数，圆点在等式的下方，表达方式如图所示。