斐波那契数列

斐波那契数列

　　斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分割数列。

　　该数列指的是这样的一列数字：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、2584、4181、6765、10946、17711、28657、46368…

　　特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。此数列从第2项开始，每一项都等于前两项之和。

　　在数学上，斐波纳契数列被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2，n∈N*)。

　　在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有着直接的应用。美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载斐波那契数列此方面的研究成果。

　　斐波那契数列的发明者，意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。

　　列昂那多·斐波那契于1202年研究兔子产崽问题时发现了此数列。设一对大兔子每月生一对小兔子，每对新生兔在出生一个月后又下崽，假若兔子都不死亡。问：一对兔子一年能繁殖成多少对兔子？

　　题中本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，为大兔子；新生的兔子不能生殖，为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子，求的是大兔子与小兔子的总和？

　　十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对

从上表看出：

　　①每月小兔对数=上月大兔对数

　　②每月大兔对数等于上个月大兔对数与小兔对数之

综合①②两点可得：每月大兔对数等于前两个月大兔对数之和　　如果用un表示第n月的大兔对数，则有un=un-1+un-2(n > 2)

　　每月大兔对数un排成数列为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…

　　那么此组数列就称为斐波那契数列

递推公式：

　　斐波那契数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N*)，那么这句话可以写成如下形式：显然这是一个线性递推数列。

通项公式：

此公式又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。

生活中的斐波那契数列

　　斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、一些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。

　　斐波那契数与植物花瓣：

　　3————————兰花、百合花、茉莉花

　　5————————蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花

　　8————————翠雀花

　　13————————金盏和玫瑰

　　21————————紫宛

　　34、55、89————雏菊

　　斐波那契数还可以在植物叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），一直到与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序，多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

黄金分割

　　随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…

杨辉三角

　　将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列：1、1、2、3、5、8…

　　公式表示如下：

　　f⑴=C(0、0)=1

　　f⑵=C(1、0)=1

　　f⑶=C(2、0)+C(1、1)=1+1=2

　　f⑷=C(3、0)+C(2、1)=1+2=3

　　f⑸=C(4、0)+C(3、1)+C(2、2)=1+3+1=5

　　f⑹=C(5、0)+C(4、1)+C(3、2)=1+4+3=8

　　f⑺=C(6、0)+C(5、1)+C(4、2)+C(3、3)=1+5+6+1=13

　　……

　　F(n)=C(n-1、0)+C(n-2、1)+…+C(n-1-m、m) (m<=n-1-m)

质数数量

　　斐波那契数列的整除性与素数生成性

每3个连续的数中有且只有一个被2整除

每4个连续的数中有且只有一个被3整除

每5个连续的数中有且只有一个被5整除

每6个连续的数中有且只有一个被8整除

每7个连续的数中有且只有一个被13整除

每8个连续的数中有且只有一个被21整除

每9个连续的数中有且只有一个被34整除

.......

可以看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5、13、89、233、1597、28657

尾数循环

　　斐波那契数列的个位数：一个60步的循环11235、83145、94370、77415、61785、38190、99875、27965、16730、33695、49325、72910…

　　进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环…

自然界中巧合

　　斐波那契数列在自然科学的其他分支同样有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发;此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。