勾股定理16种证明方法

勾股定理16种证明方法

勾股定理16种证明方法

【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4x1/2ab=c²+4x1/2ab， 整理得a²+b²=c²。

【证法2】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵ ∠GHE = 90o,∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)².∴(a+b)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。

【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)².∴(b-a)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab形的面积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， 12c2它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD∥BC.∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)².∴1/2(a+b)²=2x1/2ab+1/2c²∴ a²+b²=c²。

【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o， BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则a²+b²=S+2x1/2ab,c²=S+2x1/2ab∴a²+b²=c².

证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L. K∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 12a∵ ΔFAB的面积等于2，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =a²同理可证，矩形MLEB的面积 =b².∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ c²=a²+b² 。

【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.AD∶AC = AC ∶AB，即 AC²=ADXAB.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC²=BDxAB.∴ AC²+BC²=(AD+DB)xAB=AB²，即 a²+b²=c²、

【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. ∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ DH = BC = a，AH = AC = b由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =CA = b，AP= a，从而PH = b―a.∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o，∴ DGFH是一个边长为a的正方形.∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为c²=S₁+S₂+S₃+S₄+S₅ ①∵ S₈+S₃+S₄=1/2[b+(b-a)]x[a+(b-a)]=b²-1/2abS₅=S₉+S₈∴S₃+S₄=b²-1/2ab-S=b²-S₁-S₃ ②把②代入①，得C²=S₁+S₂+b²-S₁-S₈+S₈+S₉=b²+S₂+S₉=b²+a²∴ a²+b²=c².

【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE. R又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a，∠HGF = ∠BDC = 90o，∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S₇=S₂.过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S₈=S₅.由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a，∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S₄=S₆.C²=S₁+S₂+S₃+S₄+S₅, a²=S₁+S₆ b²=S₃+S₇+S₈，又∵ S₇=S₂，S₈=S₅，S₄=S₆，∴a²+b²=S₁+S₆+S₃+S₇+S₈=S₁+S₄+S₃+S+₂S₅=c²，即 a²+b²=c².

【证法11】（利用切割线定理证明）在 RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AC²=AExAD=(AB+BE)(AB-BD)=(c+a)(c-a)= c²-a²，即b²=c²-a²，∴ a²+b²=c².

【证法12】（利用多列米定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有ABxDC=ADxBC+ACxBD，∵ AB = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b，∴ AB²=BC²+AC²，即 c²=a²+b².

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，∴ AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)= CE+CD= r + r = 2r,即 a+b-c=2r，∴ a+b=2r+c.∴(a+b)²=(2r+c)²即a²+b²+2ab=4(r²+rc)+c²∵ S△ABE=1/2ab，∴ 2ab=4S△ABE，又∵ S△ABE=S△AOB+S△BOC+S△AOC =1/2cr+1/2ar+1/2br=1/2(a+b+c)r=1/2(2r+c+c)r=r²+rc，∴4(r²+rc)=4S△ABC，∴4(r²+rc= 2ab∴a²+b²+2ab=2ab+c²，∴ a²+b²=c².

【证法14】（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.假设a²+b²不等于c².，即假设 AC²+BC²不等于AB²，则由 AB²=ABxAB=AB(AD+BD)=ABxAD+ABxBD22可知 AC²不等于ABxAD，或者 BC²不等于ABxBD. 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠A = ∠A， ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中，∵ ∠B = ∠B，∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90o，∴ ∠ADC≠90o，∠CDB≠90o.这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，AC²+BC²=AB²的假设不能成立.∴ a²+b²=c²

【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD(a+b)=a²+b²+2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为C部分，则正方形ABCD的面积为∴ (a+b)²=4x1/2ab+c²=2ab+c²,∴ a²+b²+2ab=2ab+c².∴a²+b²=c².

【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c.∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a， ∴(b+a) DM = EM―ED = (b+a)―a = b.又∵ ∠CMD = 90o，CM = a， ∠AED = 90o， AE = b，∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o， M∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o，∴ ∠ADC = 90o.∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o，∴ ∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，∴ ΔABF ≌ ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90o，BF = DE = a.∴ 点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵ AB = BC = c，BF = CG = a，∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG .∵c²=S₂+S₃+S₄+S₅ b²=S₁+S₂+S₆ a²=S₃+S₇S₁=S₅=S₄=S₆+S₇，∴a²+b²=S₃+S₇+S₁+S₂+S₆=S₂+S₃+S₁+(S₆+S₇)=S₂+S₃+S₄+S₅=c²∴ a²+b²=c².