求二次函数解析式的方法

求二次函数解析式的方法

求二次函数解析式是中学数学知识,一般有三种方法,分别为一般式,双根(交点)式,顶点式,下面让我带大家一起复习一下吧.

一般式方法:

一般式设解解析式形式:y=ax^2+bx+c(a,b,c均为常数,且a≠0);

什么时候求解要用一般式方法呢?为什么?

由观察可知,要想求出二次函数解析式,必须要求出具体的a,b,c方可,

由于a,b,c为三个不同变量,要想求出,就必须列出三个三元一次方程才行,

这就要求必须在已知解析式函数抛物线上的三个点的坐标,代入设解解析式方可,

所以,若已知解析式函数抛物线上的三个点的坐标,可用一般式方法求解.

(注意:此法要求大家能熟练求解三元一次方程组)

双根式(交点)方法:

双根式设解解析式形式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0);

由观察可知,要想求出二次函数解析式,必须要求出具体的a方可,

若已知解析式函数抛物线与轴两个交点的横坐标 x1和x2,显然可以代入双根式设解解析式形式,可得到a(x-x1)(x-x2)=y(为方便后续计算这里暂不将交点纵坐标0代入);

此时若已知除交点外的解析式函数抛物线的第三个点坐标(x3,y3),

那么,代入 y=a(x-x1)(x-x2)可得y3=a(x3-x1)(x3-x2)

(除a外皆为常数,移项合并即可得出a值)

所以,若已知解析式函数抛物线与轴两个交点的横坐标和除交点外的任意一个抛物线上的点,即可采用双根法进行求解(可避免求解三元一次方程组的过程).

顶点式方法:

顶点式解析式的形式:y=a(x-h)^2+k(a≠0);

要想求出解析式,必须知道a,h,k的具体值;

若已知抛物线的顶点的坐标(h,k)

将顶点的坐标(h,k)代入y=a(x-h)^2+k(a≠0),此时方程两边仅剩y,a,x三个变量,若此时还知道抛物线上除顶点外的任一坐标(x1,y1),代入即可得到

y1=a(x1-h)^2+k,即可解得a的值,

至此,h,k,a已知,

解析式y=a(x-h)^2+k(a≠0)就求出来了.

此外,若知道抛物线上纵坐标相同的两个点和最大(小)值(即抛物线顶点的纵坐标k),也可以选用顶点式,

这是为什么呢?

因为对于二次解析式函数,纵坐标相同的两个点(x1,y0)和(x2,y0)必然对称分布在对称轴的两侧,则对称轴(顶点)横坐标h=(x1+x2)/2

至此,顶点坐标(h,k)就求出来了,然后代入纵坐标相同的两个点任意一点坐标,即可求出a.

同理,h,k,a已知,

解析式y=a(x-h)^2+k(a≠0)就求出来了.