已知半圆直径为112两种方法求圆弦长AD的方法

已知半圆直径为112两种方法求圆弦长AD的方法

本文采用两种方法，一是利用角平分线、正弦定理与长度关系，二是利用角平分线、正弦定理与长度关系，介绍已知半圆的直径为AB，其长度为R=112，AC=106，AC是∠DAB的角平分线，求AD的长。

已知半圆直径为112，AC是角平分线求线段AD长的两种方法

问题由来：

已知半圆的直径为AB，其长度为112，AC=106，AC是∠DAB的角平分线，求AD的长。

※.角度余弦值关系计算求解

[主要思路]：利用平分角a的余弦和其二倍角2a的余弦值关系来计算所求线段AD的长度。

设圆的半径为R，即R=AB/2=56,

在△AOD中，AO=OD=R=56,

由余弦定理有：

AD=2AM=2*Rcos2a=2*56cos2a=112cos2a…….(1)

在三角形AOC中，由余弦定理有：

AC=2*AN=2*Rcosa=112*cosa,

即：112cosa=106,

所以：cosa=53/56.

代入方程(1)中，有：

AD=112cos2a=112*(2cos ²a-1),

=112*[2*(53/56) ²-1],

=1241/14.

※.角平分线、正弦定理与长度关系来求解

[主要思路]：本步骤利用已知条件角平分线定理、正弦定理，并根据角a的余弦值，以及长度关系，来求解计算所求线段的长度。

如上图所示，设AD=x，OD与AC的交点为P，设DP=y，则OP=R-y，

即OP=56-y，在三角形△AOD中，AP是角平分线，由平分线定理可得：OP/PD=AO/AD,

则：(56-y)/y=R/x，化简为：

x=56y/(56-y),……(1).

进一步由正弦定理可得：

DP/sina=AD/sin∠APD,

即：y/sina=x/sin3a，化简为：y(3-4sin²a)=x,……(2),

在△AOC中，可求出cosa=53/56，

则：sin²a=327/3136……(3),

将(3)代入(2)可知：

y=784x/2025,

再代入(1)可知：

x=56*(784x/2025)/[56-(784x/2025)],

化简可得;

784x/2025=56 *1241/2025,

所以：x=1241/14.