微分方程及其相应解法（一阶篇）

微分方程及其相应解法（一阶篇）

微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型的微分方程及其相应解法。

1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx

直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx

设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解

2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x)

令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,

所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x

两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x

最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解

3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)

先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0

解得y=Ce－∫P(x)dx,再令y=ue－∫P(x)dx代入原方程

解得u=∫Q(x) e∫P(x)dxdx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C］

即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx

∫Q(x)e∫P(x)dxdx为一阶线性微分方程的通解

4.可降阶的高阶微分方程解法

①y(n)=f(x)型的微分方程

y(n)=f(x)

y(n-1)=∫f(x)dx+C1

y(n-2)=∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2

依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解

②y”=f(x,y’)型的微分方程

令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1)即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2

③y”=f(y,y’)型的微分方程

令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1)

即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C2