中考重点二次函数，这样方便轻松，记得扎实牢固
的有关信息介绍如下：
初中代数最后的二次函数，包括一元二次方程，都是初中数学的重点知识，都有大量的公式，我们怎样才能够记得又扎实又牢固呢？
非常简单，只要我们自己也开动脑筋，动动手，看看这些公式是怎样推导得来的，记起来就方便轻松了。
这样也是我自己的学习方法。明确了思路，弄清楚公式、定理都是怎么得来的，万一自己想不起来，还可以自己把公式、定理重新推导出来。
二次函数一般式y= ax"+bx+c（a不等于0）
一元二次方程一般式 ax"+bx+c =0（a不等于0）
既然二次函数包括一元二次方程，原料的两个一般式，我们取二次函数的就足够了，可是必须记住，（a不等于0）这个条件可不能缺少呀。为什么呢？如果二次项系数等于0，这样还是二次函数或者一元二次方程吗？
毕竟电脑输入的符号有限，相对也不够规范，为了我们看得方便，还不妨换用双引号来表示二次方；由于找不到不等号，后面我就不写了，可是我们手写的时候，就一定不能缺少了。
分析二次函数和一元二次方程，记得我们都要先做配方，这个过程我们都亲自做一做吧
y= ax" +bx +c= a[x" +(b/a)x +(b/2a)" -(b"/4a")] +c= a[x +(b/2a)]" -(b"/4a) +(4ac/4a)= a[x +(b/2a)]" +[(4ac -b")/4a]= a[x +(b/2a)]" -[(b" -4ac)/4a]二次函数，变成顶点坐标的形式 y= a(x-h)"+k，
对称轴就是直线 x= h，顶点坐标就是(h,k)；
经过这样配方，我们就看到，h= -(b/2a)，k= (4ac -b")/4a 或者k= -(b"-4ac)/4a
分析函数图象，毕竟我的电脑画图不方便，我就列出数字，请你跟着我的分析，自己画图加强理解，也帮助自己加深印象。
准备工作，先列出我们熟悉的几个平方数，0、1、4、9、16
(-4)"=16，(-3)"=9，(-2)"=4，(-1)"=1，0"=0，1"=1，2"=4，3"=9，4"=16
显然，这就是最简单的 y=x" 经过的 9个点，9个坐标依次是
(-4,16)、(-3,9)、(-2,4)、(-1,1)、(0,0)、(1,1)、(2,4)、(3,9)、(4,16)
函数图象，我们先看看 y= ax"，把 y=x" 乘以二次项系数a，看看坐标有什么变化
为了计算方便，我们就看看 a=2 和 a=1/2
如果取 a=2，函数变成 y= 2x"，坐标就变成
(-4,32)、(-3,18)、(-2,8)、(-1,2)、(0,0)、(1,2)、(2,8)、(3,18)、(4,32)
如果取 a=1/2 =0.5，函数变成 y= 0.5x"，坐标就变成
(-4,8)、(-3，4.5)、(-2,2)、(-1，0.5)、(0,0)、(1，0.5)、(2,2)、(3，4.5)、(4,8)
你自己画图，一定更明显，看出来了吗？
y= 2x"，经过(-2,8)、(-1,2)、(0,0)、(1,2)、(2,8)
y= 0.5x"，经过(-4,8)、(-2,2)、(0,0)、(2,2)、(4,8)
当 a>0，二次项系数取正数时，函数图象的抛物线开口向上；对称轴是 y轴，也就是直线 x=0；顶点坐标是原点(0,0)；a的数值越大，抛物线开口越小；a的数值越小，抛物线开口反而越大。
这一半你明白了吗？还有 a<0，二次项系数取负数，情况又是怎么样呢？另一半留给你自己分析吧。
继续分析，y= ax"+k不用说了吧，我们直接进入 y= a(x-h)"+k的环节。
我们都知道，y= a(x-h)"+k 的抛物线，与a值相等的 y= ax"形状相同，是 y= ax"平移得到的。
我没有图象，还是列数据，我们看着坐标自己画图吧。
为了计算方便，我们就看看 y= -x"+4 和 y= -(x-1)"+4
函数变成y= -x"+4，最先那 9个坐标又变成了什么样呢？
(-4,-12)、(-3,-5)、(-2,0)、(-1,3)、(0,4)、(1,3)、(2,0)、(3,-5)、(4,-12)
函数变成 y= -(x-1)"+4，这样的 9个坐标又变成什么样呢？
(-3,-12)、(-2,-5)、(-1,0)、(0,3)、(1,4)、(2,3)、(3,0)、(4,-5)、(5,-12)
你自己画图了吗？规律看出来了吗？
最简单 y= ax" 的形式，抛物线的对称轴是 y轴，也就是直线 x=0；顶点坐标是原点(0,0)；当 a>0时，抛物线开口向上，当 a<0时，抛物线开口向下。
变成 y= ax"+k的形式，抛物线的对称轴还是 y轴的直线 x=0；顶点坐标却变成(0,k)；当 a>0，抛物线开口向上时，如果 k>0，顶点坐标也在 x轴上方，抛物线就完全在 x轴的直线 y=0上方，与 x轴没有交点；这时如果 k<0，顶点坐标在 x轴下方，抛物线就穿越 x轴，有两个交点；
这个y= ax"+k的形式，当 a<0，抛物线开口向下时，如果k<0，顶点坐标也在 x轴下方，抛物线就完全在 x轴的直线 y=0下方，与 x轴没有交点；这时如果 k>0，顶点坐标在 x轴上方，抛物线就穿越 x轴，有两个交点。
变成 y= a(x-h)"+k的形式，a>0，开口向上，(x-h)=0 的时候，函数才是最小值 k；假如 a<0，开口向下，(x-h)=0 的时候，函数就是最大值 k，所以，它的对称轴是直线 x=h，顶点坐标是(h,k)。
刚才看 y= -x"+4 和 y= -(x-1)"+4 的坐标，我们也都顺便看到
y= -x"+4 与x轴这条直线 y=0交于 (-2,0)和 (2,0)这两点；
解方程 -x"+4 =0 就是 x= -2 和 x=2；
y= -(x-1)"+4 与x轴这条直线 y=0交于 (-1,0)和 (3,0)这两点；
解方程 -(x-1)"+4 =0 就是 x= -1 和 x=3；
前面分析了二次函数，这里一元二次方程，我们不用新数据了吧。
一元二次方程 ax" +bx +c =0，这个一般形式就是二次函数当中 y=0 的情况，解方程就是求抛物线与 x轴交于哪两点。
一元二次方程的求根公式，也可以用刚才的函数式，继续变形推导出来。
a[x +(b/2a)]" -[(b"-4ac)/4a] =0，移项，则a[x +(b/2a)]" =(b"-4ac)/4a[x +(b/2a)]" =(b"-4ac)/4a" x +(b/2a) = ±[√(b"-4ac)]/2ax1= [-b + √(b"-4ac)]/2ax2= [-b - √(b"-4ac)]/2a
刚才二次函数我们已经分析过，
当 a>0，抛物线开口向上的时候，只有 k<0，顶点坐标位于 x轴下方，抛物线才与 x轴的直线 y=0 有两个交点；
当 a<0，抛物线开口向下的时候，只有 k>0，顶点坐标位于 x轴上方，抛物线才与 x轴的直线 y=0 有两个交点。
如果 a>0 开口向上，k>0 顶点也在 x轴上方，抛物线就完全在 x轴上方，与 x轴就没有交点了；
如果 a<0 开口向下，k<0 顶点也在 x轴下方，抛物线就完全在 x轴下方，与 x轴就没有交点了。
由于 k= -(b"-4ac)/4a，当a>0 是正数时，要想 k<0，就一定要(b"-4ac)>0 也是正数；
当a<0 是负数时，因数的 -1/4a 负负得正，要想 k>0，也一定要(b"-4ac)>0 还是正数。
只有(b"-4ac)>0，抛物线才与 x轴有两个交点，方程才有两个不同的实数根。假如(b"-4ac)<0，抛物线就与 x轴没有交点，方程就没有实数根了。假如(b"-4ac)=0，k就也等于零，抛物线与 x轴，就只有一个交点，是抛物线的顶点，即(h,0)，方程就是两个相等的实数根。
还有韦达定理，其实是一元二次方程“根与系数的关系”，可以用来作因式分解。
两根之和，两个相反数相加为零，则 x1+x2 = -b/2a -b/2a = -b/a
两根之积，用到平方差公式，则x1*x2 = {(-b)" -[√(b"-4ac)]"}/4a" = {b"-b"+4ac}/4a" = 4ac/4a" = c/a
就是说0= ax" +bx +c = a[x" +(b/a)x +(c/a)]= a[x"-(x1+x2)x +(x1)(x2)]= a(x -x1)(x -x2)
今后见到二次三项式 ax" +bx +c，也可以先设定它等于零，求出方程的两个根，再用方程的两个根进行因式分解。
二次函数抛物线的6种情况，建议大家还是亲自再总结几遍，这个知识点，几乎贯穿了二次函数与一元二次方程的全部内容。
还有手写公式要注意什么？二次项系数a 不能等于0 啊！
另外，看到我用了这么多括号，大家又有没有想到什么呢？小学的时候，我们不是学过，分数线还有括号的作用吗？到了中学，开方的根号也是这样啊！
这样看来，传统的数学家们真了不起啊，他们研究的数学符号，也真有不易取代的长处啊！为了自己记起来方便，我们还是赶紧自己手写总结一遍吧。
