勾股定理逆定理证明方法

勾股定理逆定理证明方法

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。若c为最长边，且a²+b²=c²，则ΔABC是直角三角形；如果a²+b²>c²，则ΔABC是锐角三角形；如果a²+b²

根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a²+b²-c²）÷2ab。

由于a²+b²=c²，故cosC=0；

因为0°<∠C<180°，所以∠C=90°。（证明完毕）

已知在△ABC中，，求证∠C=90°

证明：作AH⊥BC于H

⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x

得x²+y²=c²，

又∵a²+b²=c²，

∴a²+b²=x²+y²（A）

但a>y,b>x，∴a²+b²>x²+y²（B)

（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角

⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x

得a²+b²=c²=x²+(a+y)²=x²+y²+2ay+a²

∵x²+y²=b²，

得a²+b²=c²=a²+b²+2ay

2ay=0

∵a≠0，∴y=0

这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角

综上所述，∠C必为直角

已知在△ABC中，a²+b²=c²，求证△ABC是直角三角形

证明：做任意一个Rt△A'B'C'，使其直角边B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°。设A'B'=c'

在Rt△A'B'C'中，由勾股定理，得A'B‘²=B'C'²+A'C'²=a²+b²=c’²

一∵a²+b²=c²，∴c‘=c

在△ABC和A'B'C'中，∵AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'，∴△ABC≌△A'B'C'

∴∠C=∠C'=90°

如图，已知在△ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，且a²+b²=c²。求证∠ACB=90°

证明：在△ABC内部做一个∠HCB=∠A，使H在AB上。

∵∠B=∠B,∠A=∠HCB

∴△ABC∽△CBH(有两个角对应相等的两个三角形相似)

∴AB/BC=BC/BH，即BH=a²/c

而AH=AB-BH=c-a²/c=(c²-a²)/c=b²/c

∴AH/AC=(b²/c)/b=b/c=AC/AB

∵∠A=∠A

∴△ACH∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)

∴△ACH∽△CBH(相似三角形的传递性)

∴∠AHC=∠CHB

∵∠AHC+∠CHB=∠AHB=180°

∴∠AHC=∠CHB=90°

∴∠ACB=∠AHC=90°